拉普拉斯逆变换的问题和讨论 - 1
寻找它 \( h(t) \) 从 \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)
讨论:
需要做拉普拉斯逆变换。您可以按照以下步骤获取它 \( h(t) \) 从传递函数 \( H(s) \):
步骤 1：对分母进行因式分解 \( H(s) \)
\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]
步骤 2：将分数转换为更简单的部分分数形式，以便很容易确定倒数
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]
\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]
\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
步骤 3：确定系数
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
通过比较系数，我们得到：
- \(1 = A + B\)
- \(0 = 4A + 2B + C\)
- \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)
从 \(1 = A + B\), 我们得到 \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)
从 \(0 = 4A + 2B + C\), 我们得到 \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)
步骤 4：部分分数
代换 \(A = 0\), \(B = 1\), 和 \(C = -2\) 进入 \( H(s) \):
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
步骤 5：拉普拉斯逆变换
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]
所以:
\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]
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