拉普拉斯逆变换的问题和讨论 - 1

寻找它 $h(t)$ 从 $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

讨论:

需要做拉普拉斯逆变换。您可以按照以下步骤获取它 $h(t)$ 从传递函数 $H(s)$:

步骤 1：对分母进行因式分解 $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

步骤 2：将分数转换为更简单的部分分数形式，以便很容易确定倒数

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

步骤 3：确定系数

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

通过比较系数，我们得到：

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

从 $1=A+B$, 我们得到 $1=0+B\Rightarrow B=1$

从 $0=4A+2B+C$, 我们得到 $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

步骤 4：部分分数

代换 $A=0$, $B=1$, 和 $C=-2$ 进入 $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

步骤 5：拉普拉斯逆变换

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

所以:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$\mathrm{图}\mathrm{表}:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [02220240602]